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等腰三角形的性質范文第1篇

一、 活動內容設計

由等腰三角形的一些性質，通過師生對話及一系列問題的提出，逐步把問題引向深入．促使學生根據已學的有關知識，運用一般化、特殊化等思想方法，在自主探索過程中不斷地發現一些有趣的性質，最后得到三角形的費馬點。

例題：已知：ABC中，AB=AC，BD、CE分別是∠ABC、∠ACB的角平分線.求證：BD=CE。

在給出了以上例題后，教師與學生一起由淺入深、由此及彼，逐步探討如下一系列問題：

問1：題設、結論各是什么？你能按題意畫出圖形嗎?

問2：如何來證明？

問3：有另外的證法嗎？

問4：題中條件不變，你還能推出什么結論？

問5：回到原題，你能用文字語言敘述一下嗎？

問6：如題中條件稍作變化，你能否得到相應的結論呢？

問7：剛才，我們證明了等腰三角形兩腰上的高相等，試問，點B到直線AC的距離與點C到直線AB的距離相等嗎？

問8：固定三角形，讓點B移動到點P（底邊BC上一點），試問，點P到AC的距離與點C到AB的距離有何關系？若PN、PM分別是P到AB、AC的距離，那么PN、PM與CE之間有何關系？

問9：能否證明你的猜想？

問10：你能想出幾種不同的證法？

問11：若點P繼續運動到BC的延長線上，又會有什么結論呢？

問12：若ABC是等邊三角形，你又有什么新發現？

問13：若ABC中AB>AC，點P在邊BC上，你有什么猜測？

問14：若點P為任意ABC內一點，它到三邊距離之和為PD+PE+PF，對此，你又有什么認識？

問15：若改為點P到ABC三頂點的距離之和，你又有什么想法？什么時候PA+PB+PC為最小？能證明嗎？

二、 活動過程設計

“問1”、“問2”意在培養學生的審題、畫圖、證明等基本素養。活動過程中應重視學生“雙基”的訓練。

“問3”“問4”則重在培養學生的發散性思維。“問3”是解法開放，應積極引導學生調動自己頭腦中已有的知識經驗，探尋多種解法。“問4”也就是結論開放，應引導學生展開聯想，大膽猜想。

“問5”在于培養學生的語言轉換能力。讓學生換個角度去敘述問題，把數學符號語言轉換成文字語言，學生就較容易想到相應的線段如中線、高是否有同樣的等量關系。于是，學生就可能會思考如“問6”的問題。

“問6”與“問7”之間，教師把學生引導到“距離”這一概念上去，加深學生對“距離”概念的認識，另一方面，把問題從“高”這一角度轉移到“距離”這一角度，也是一種語言轉換。這一轉換，“問7”、“問8”也就順應而出。在此，應使學生意識到問題的不斷轉換，將有助于新問題的提出，有助于獲得新發現。

“問9”、“問10”應使學生通過探尋不同的解法，讓學生回顧復習證兩線段之和等于一條線段的常用方法（或一般規律）：截取、延長、平移、對稱等等，從中探尋一般規律。

“問11”滲透運動的觀點，用動態的觀點去處理點P躍過點C時的情況。教學中可通過多媒體輔助手段顯示點P的運動及PN、PM的變化，讓學生通過觀察，得出相應猜測及證明。

“問12”、“問13”讓學生從特殊化、一般化的角度去加強或減弱條件，并猜測其可能的結果。學會特殊化，學會一般化，學會類比，學會聯想，學會猜測。

“問14”中的點P更富有一般性。此時，使學生認識到其結論一般也更具不確定性，但應引導學生思考“是否具有最大值與最小值呢？”

“問15”運用類比，把點到直線的距離變為點與點之間的距離，從而提出了“費馬點”。

等腰三角形的性質范文第2篇

八年級上冊第12章是“軸對稱”，“等腰三角形”是本章第3節的內容.本節是在學習了軸對稱圖形、線段和角的軸對稱性的基礎上安排的.主要內容是：（1）在實際探索中發現等腰三角形的性質；（2）研究等腰三角形的判定；（3）研究等邊三角形的相關知識.

等腰三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性質外，還有許多特殊的性質.等腰三角形的軸對稱性及“兩個底角相等”、“三線合一”，是等腰三角形的重要性質，是今后證明角相等、線段相等及兩條直線垂直的重要依據，這也是全章的重點之一.教材通過剪紙、折疊、觀察、思考等一系列的探究活動，在問題串的引導下，由學生發現并概括出這些性質，這都是要求學生必須牢固掌握的.

本節內容分兩小節，其中第一小節等腰三角形分兩課時，第一課時主要研究等腰三角形的性質.本節課，讓學生通過折紙、剪紙等實驗活動，探索發現幾何結論，經歷知識的“再發現”過程.在發現結論的基礎上，再經過推理證明這些結論，使得推理證明成為學生觀察、實驗、探究得出結論的自然延續，使圖形的認識與圖形證明有機整合.

在對教材作以上分析的基礎上，可以確定出本節課的教學目標是：

1、經歷探索等腰三角形的性質的過程，掌握等腰三角形的軸對稱性、等腰三角形“三線合一”、等腰三角形的兩個底角相等等性質.

2、經歷探索等腰三角形性質的過程，掌握這個性質，并能給出證明.

3、在經歷探索等腰三角形性質的過程中，發展學生合情推理和演繹推理能力.

4、在運用等腰三角形性質解決問題的過程中，發展應用意識.不斷增強學好數學的自信心.

教學重點：等腰三角形的性質.

教學難點：探索并證明等腰三角形的性質.

2 學情和學法分析

2.1 學生在學習中常見的認識誤區和思維障礙

（1）對等腰三角形的軸對稱性理解不深刻

關于等腰三角形的軸對稱性要求學生做到全面理解，既要認識到它是軸對稱圖形，又要說出其對稱軸來，為此，學生應明確以下兩點：①等腰三角形是軸對稱圖形；②等腰三角形的對稱軸是底邊的垂直平分線.對于第①點，學生通過動手操作可以很容易發現，而對于第②點則往往出現認識、理解不深刻的現象，從而導致錯誤.常出現下面的錯誤認識“等腰三角形是軸對稱圖形，其對稱軸是底邊上的高”.

（2）不能正確理解“三線合一”的性質

等腰三角形的“三線合一”的性質是指等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線重合.這里的“線”都是指線段，對于這一點，初學的同學往往出現認識上的問題，如出現類似下面的錯誤判斷：

因為等腰三角形底邊上的中線也是底邊上的高，所以也是底邊上的垂直平分線.

事實上，在等腰三角形中，頂角平分線、底邊上的高和底邊上的中線是同一條線段，它垂直于底邊，而底邊的垂直平分線是垂直于底邊的直線，這是兩個不同的概念.

2.2 學法指導

（1）鼓勵學生自主探究，自己歸納、總結、發現等腰三角形的性質.對于等腰三角形的性質，教師可通過適當的素材（問題串），給學生提供思考的空間，鼓勵學生自己獨立解答，然后進行相互交流，在相互交流中加深對等腰三角形性質的理解.

（2）引導學生在獨立思考的基礎上進行合作交流.為防止出現對等腰三角形的性質理解不深刻的現象，可在同學們總結、歸納出等腰三角形的性質后，給出一些判斷性的問題，讓學生去甄別真假.

（3）注重認識結構的優化.關于等腰三角形的概念在七年級下冊已經學過，學完等腰三角形的性質以后，引導學生進一步加深對等腰三角形有關概念的認識，以擴充學生原有的數學認識結構.

3 導學過程設計

3.1 創設情境，激發興趣

出示一些精美的建筑圖片（金字塔、房屋側面、高架橋等），讓學生仔細觀察圖片中顯示的主要是一些什么圖形？

點評 愛因斯坦有句至理名言：“興趣是最好的老師.”數學教學必須把培養學生的學習興趣放在首位.由于學生在小學已經接觸過等腰三角形，他們能比較容易的從建筑圖片中抽象出等腰三角形.該設計能激發起學生的學習興趣，在最短的時間內把學生的注意力吸引到課堂中來，這是提高課堂教學效率的第一步.

教師此時板書題目：1231等腰三角形（1）.

3.2 問題引導，探究發現

（1）引導學生進行實驗操作

把一張長方形的紙按圖1中虛線對折，并剪去陰影部分，再把它展開，得到的三角形有什么特點？

點評 《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《標準》）指出“學生學習應當是一個生動活潑的、主動地和富有個性的過程.認真聽講、積極思考、動手操作、自主探索、合作交流等，都是學習數學的重要方式.”在引起學生學習興趣的基礎上，教師及時安排一個動手操作的實驗活動，讓學生通過折紙、剪紙、觀察得到等腰三角形，使學生感知等腰三角形的特征是兩邊相等，培養了學生觀察分析、概括總結的能力.

教師畫出ABC并標出腰、底、頂角、底角，為后面探究等腰三角形的性質做準備.

（2）合作交流，自主探究.

引導學生仔細觀察圖2中的ABC，折痕記作AD，思考下面的問題：

①等腰三角形ABC是軸對稱圖形嗎？

②∠BAD與∠CAD相等嗎？為什么？

③∠B與∠C相等嗎？為什么？

④折痕所在直線AD與底邊BC有什么位置關系？

⑤線段BD與線段CD的長相等嗎？

⑥你能總結一下折痕所在直線AD具有的性質嗎？

點評 學生通過觀察、思考等探究活動，在以上6個問題的引導下，能自主發現并概括出等腰三角形的軸對稱性及“兩個底角相等”、“三線合一”等重要性質，這是今后證明角相等、線段相等及兩條直線互相垂直的重要依據.這樣安排學生便經歷觀察、實驗、探究、歸納、推理等認識圖形的全過程，對于培養學生自主探究的學習品質和觀察分析問題、概括總結、合情推理的能力都是非常有益的.

此時，教師板書：等腰三角形的兩個底角相等.

等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.

（3）嘗試證明，規范格式

①語言敘述性命題的證明步驟有哪些？

②你能證明等腰三角形的兩個底角相等嗎？（畫圖，寫出已知、求證，寫出你的證明過程.）

③與同組的同學交流證明方法.

點評 問題（1）復習鞏固了語言敘述性命題的證明步驟，為把問題（2）的文字語言正確轉化成圖形語言做準備，進一步引導學生回顧證明角相等的方法，分析選擇怎樣的證明方法，如何添加輔助線，讓學生體會數學具有嚴密的邏輯性.（3）利用投影儀展示學生的三種不同的證法：①作BC邊的中線，用“SSS”證明全等；②作ADBC于D，用“HL”證全等；③作角平分線，用“SAS”證明全等.針對不同的證明方法，進行比較和討論，激發學生對數學證明的興趣，發展學生思維的廣闊性和靈活性.同時，師生共同糾正錯誤，規范證題格式，由輔助線的不同作法，也為性質2“三線合一”的教學作鋪墊.

（4）用數學符號表示等角對等邊.

點評 培養學生的文字語言、符號語言及圖形語言之間相互轉化的能力.真正掌握等邊對等角.

（5）學以致用，鞏固練習

1.已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，則它的周長是 .

2.已知等腰三角形的一個角為40°，則其頂角為

（ ）

A.40° B.80° C.40°或100° D.100°

點評 本組練習考察學生掌握等腰三角形的性質1的情況，看學生是否能和三角形三邊關系、三角形內角和綜合運用，培養學生應用知識的能力.重視對數學基本思想的滲透是《標準》的要求，學生在解答問題2的過程中，能體驗到分類討論的思想在解題中的應用.

3.3 合作交流，再探新知

（1）等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.可轉化成幾個命題？

點評 引導學生把結論2這個復雜的命題，轉化成三個命題，降低了難度，使學生真正理解等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的真正含義，也鍛煉了學生的語言表達能力.教學中注意強調這三種線段的定語，可以讓學生畫圖說明.

（2）請選擇一個你喜歡的命題，并寫出證明過程

點評 讓學生選擇一個自己喜歡的命題證明，為不同層次的學生提供了參與數學活動的平臺，充分發揮了學生的積極性、主動性.符合《標準》提出的讓“不同的人在數學上得到不同的發展”的要求

（3）根據圖2填空

①在ABC中，因為AB=AC，ADBC，所以 （或 ）

②在ABC中，因為AB=AC， ，所以ADBC（或BD=DC）

③在ABC中，因為AB=AC， ，所以ADBC（或AD平分∠BAC）

點評 進一步鞏固“三線合一”，培養學生三種語言的轉化能力，增強理性認識，提高演繹推理的能力.完成填空后，同桌間敘述、交流，進一步從理性上認識“三線合一”，形成知識體系.

（4）學以致用，鞏固練習

①在ABC中，AB=AC，ADBC，∠BAD=40°，BD=2cm，則BC= ∠C= ；

點評 以填空的形式出現，讓學生再次理解等腰三角形的“三線合一”性質的內涵.加深對性質2的理解，學會性質的應用.

②如圖3，已知在ABC中，AB=AC，點D、E在邊BC上，AD=AE，求證：BD=CE.

點評 等腰三角形的“三線合一”性質，包含有線段相等、角相等、垂直等關系，涉及量多，應用廣泛，是證明線段相等、線段的倍數關系、角相等、角的倍數關系、垂直等常用的方法.本題在進一步鞏固“三線合一”性質的基礎上，引導學生分析解題方法的優劣，優化解題過程，努力尋找解決問題的最佳方案.在對“三線合一”的認識不斷深化過程中，提高了學生的概括能力，以促使學生形成一個系統性強、相互聯系的數學認知結構.在體驗解決問題方法的多樣性的過程中，逐步發展了創新意識.

3.4 拓展提高

如圖4，線段OB的一個端點O在直線a上，以OB為一邊畫等腰三角形，并且使另一個頂點在直線a上，這樣的等腰三角形能畫多少個？

點評 由于學生的層次不同，掌握知識的能力也不同，設計拓展提高題，滿足學有余力的學生的發展需求，進一步提高學生的發散思維能力，實現由知識到能力的轉化.

3.5 梳理反思，總結升華

暢所欲言，共同分享：

（1）你有哪些收獲？還有哪些不足？（知識技能、解題方法、數學思想、解題技能，輔助線的添加、情感態度、合作學習等.）

（2）寫出本節課的學習反思.

點評 數學家弗賴登塔爾指出：“反思是數學創造性思維的重要表現，它是一種高層次的數學創新活動，是數學活動的動力，必須教育學生對自己的判斷與活動進行思考并加以證實，以便使他們學會反思.”這就要求培養學生具有嚴密的、全面的能自我反省的思維品質以及在問題面前迅速作出正確判定的思維品質.學生在學習過程中不斷反思自己的學習行為、學習方法、自我評價等，以此來指導今后學習活動，不僅加強了知識的深化與內化，提高了學生良好的思辨思維習慣，而且是提高數學素養的一種重要手段.

3.6 布置作業：（省略）

點評

1.充分尊重了學生的主體地位

本節課注重探索等腰三角形性質的形成過程，先讓學生通過折疊剪紙來認識等腰三角形，再觀察折疊的等腰三角形，猜測它的性質，然后運用全等三角形的知識加以論證，使學生經歷了一個觀察、實驗、探究歸納、推理、認識圖形的全過程，由發展學生的合情推理能力到發展學生的演繹推理能力，真正實現學生為主體的教學宗旨，培養學生自主探究學習的優秀品質和嚴謹的邏輯思維能力.

2.注重了學習方式的轉變

《標準》特別強調要轉變學生的學習方式，本設計在探究等腰三角形性質的過程中較好的體現了這一理念.對于問題（1），先由學生自己思考、猜想，然后相互交流自己的看法，師生共同總結出等腰三角形的性質——等腰三角形是軸對稱圖形，等腰三角形的對稱軸是底邊的垂直平分線.這個性質包含兩部分，前面的部分說明等腰三角形是軸對稱圖形，后面的部分是說明對稱軸的位置或是怎樣形成的，這一點同學們往往不夠重視，從而出現這樣或那樣的錯誤.一個圖形的對稱軸是一條直線，既然等腰三角形是軸對稱圖形，就需要進一步明確對稱軸的位置.這條直線就是等腰三角形底邊的垂直平分線.一定要向同學們交代清楚等腰三角形的對稱軸是一條直線，而不是線段，這樣學生就不會誤認為等腰三角形的對稱軸是底邊上的中線了.

問題（2）—（5）反映了等腰三角形的“三線合一”和“底角相等”的性質.這些結論的獲得過程都可以采用合作交流的學習方式，可在學生充分思考、猜想、討論的基礎上，通過全班交流加以肯定.

在引導學生“已知底邊和底邊上的高用尺規作等腰三角形”時，應先引導學生回顧已經學過的四種基本尺規作圖，然后就本作圖題展開討論，通過交流使學生認識到：問題的關鍵是作出等腰三角形的三個頂點，在作出線段AB=a后，關鍵是確定頂點C的位置.

3.加強對學生推理能力的培養

等腰三角形的性質范文第3篇

關鍵詞：分類討論；等腰三角形；直角三角形

分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數學方法，同時也是一種重要的解題策略。這類試題不僅考查我們的數學基本知識與方法，而且考查了我們思維的深刻性。下面我以特殊三角形為例，淺顯地談談分類法的應用。

一、等腰三角形的腰或底邊不定時需要分類討論

在等腰三角形中求邊長時，要看給出的邊長是否確定為腰長或底邊，若已確定，則直接利用等腰三角形的性質定理求解；若沒有指出所給的邊是腰還是底邊，要分兩種情況討論，并三角形內角和三邊的關系檢驗其是否能構成三角形。

例1.已知在等腰三角形中，（1）若一邊長等于4 cm，另一邊等于5 cm，求它的周長；（2）若周長為20 cm，一邊長為5 cm，求它的三邊長。

分析：不能確定已知邊是腰還是底邊，因此分兩種情況討論：

（1）若底邊長為4 cm，則腰長為5 cm，這時它的周長為4+5+5=14 cm；若腰長為4 cm，則底邊長為5 cm，這時它的周長為4+4+5=13 cm，所以這個三角形的周長等于14 cm或13 cm.

（2）若底邊長為5 cm，則腰長為7.5 cm.

（3）若長為5 cm的邊是腰，則底邊長為10 cm，因為5+5=10 cm，即兩邊之和等于第三邊，不符合三角形三邊關系，因此三角形不存在，所以它的邊長為5 cm，7.5 cm，7.5 cm.

例2.若等腰三角形一腰上的中線分周長為9 cm和12 cm兩部分，求這個等腰三角形的底和腰的長。

分析：已知條件并沒有指明哪一部分是9 cm，哪一部分是12 cm，因此，應有兩種情形。

若設這個等腰三角形的腰長是x cm，底邊長為y cm，可得x+ x=9 x+y=12或x+ x=12 x+y=9解得x=6y=9或x=8y=5即當腰長是6 cm時，底邊長是9 cm；當腰長是8 cm時，底邊長是5 cm。

二、等腰三角形的頂角或底角不定時需要分類討論

在等腰三角形中求邊角時，要看給出的角是否確定為頂角或底角，若已確定，則直接利用三角形內角和定理及等腰三角形的性質定理1（等邊對等角）求解；若沒有指出所給的角是頂角還是底角，要分兩種情況討論，并看是否符合三角形內角和定理。

例3.已知等腰三角形的一個內角度數，計算三角形的另外兩個角的讀數。

（1）已知一個角是30°；（2）已知一個角是160°。

分析：如果已知等腰三角形的一個內角是銳角，可分兩種情況，頂角是已知銳角或者底角是已知銳角；如果已知一角是鈍角或者直角，那么它一定是等腰三角形的頂角。

（1）若已知角是頂角，則另外兩個角是底角，度數為 ×（180°-30°）=75°；若已知角是底角，則頂角度數為180°-2×30°=120°，另一個底角為30°。

（2）由于已知等腰三角形的一個角是160°，又由于兩個底角相等，因此這個角只能是頂角，因此這個角只能是頂角，因此兩個底角度數都是 ×（180°-160°）=10°

三、等腰三角形的形狀不定時需要分類討論

由于等腰三角形類型的不同，高線所處的位置也不同。如果是銳角三角形則高線在三角形內部；如果是直角三角形，高線就是一條直角邊；如果是鈍角三角形，高線在三角形外部。所以在等腰三角形中求高線時，要看給出的三角形是否確定，若已確定，則直接利用三角形高線的位置進行求解；若沒有指出則要分三種情況討論。

例4.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，腰長為a，求底邊上的高線長。

解析：題目沒有確定三角形的類型，所以這個等腰三角形需分三種情況進行討論。

（1）如圖1，若ABC是銳角三角形時，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的長。

因為腰長為a，∠ABE=30°，故腰上的高為 a，且頂角為60°，從而ABC是等邊三角形，所以底邊上的高為 a。

（2）如圖2，若是鈍角三角形，已知AB=AC，BEAC，∠ABE=30°，ADBC，求AD的長。

因為∠ABE=30°，所以∠BAC=90°+30°=120°.又因為AB=AC，所以∠BAC=30°。因為ADBC，所以AD= AC= a。

（3）若頂角為直角，顯然是不成立的。

綜上所述，底邊上的高為 a或 a。

由以上的幾個例子我們可以看出分類討論往往能使一些錯綜復雜的問題變得異常簡單，解題思路非常的清晰，步驟非常的明了。

利用現有教材，教學中著意滲透并力求幫助學生初步掌握分類的思想方法，結合其它數學思想方法的學習，注意幾種思想方法的綜合使用，給學生提供足夠的材料和時間，啟發學生積極思維。相信會使學生在認識層次上得到極大的提高，收到事半功倍的教學成效。

參考文獻：

等腰三角形的性質范文第4篇

本節課主要采用“開放型的探究式”教學模式，讓學生通過觀察、實驗、操作等方式親身經歷數學知識的形成過程。整堂課力求為學生創造一個寬松、自由發展的空間，鼓勵學生自主探究、合作交流，在學生“動手”“動腦”“動口”中發現問題、解決問題，真正體現學生的主體地位。

二、教學思路

導入新課―觀察猜想：探究驗證―證明猜想：動手操作―例題欣賞：聯系鞏固―歸納小結：深化新知。

三、活動目標

1.通過操作、觀察、猜想、論證等數學活動，進一步發展學生的合情推理能力和初步演繹推理能力。讓學生在經歷等腰三角形性質的探索過程中，體會解決問題的多樣性。

2.培養學生獨立思考的習慣與合作交流的意識，激發學生的學習興趣，體驗探索成功后的快樂。

四、活動重點、難點

1.重點：等腰三角形的性質及應用。

2.難點：等腰三角形性質的探究與證明。

五、活動準備

多媒體課件、剪刀、長方形紙片。

六、活動過程

（一）創設情境，導入新課

播放現實生活中等腰三角形的有關圖片，并指出等腰三角形的概念，提出問題（你能用一張長方形紙片，通過折疊只剪一刀，剪出一個等腰三角形嗎？）

設計意圖：通過動手操作，讓學生進一步體會等腰三角形的性質，同時剪三角形的過程也保留了中間折疊的痕跡，為后面性質證明時添加輔助線做好鋪墊。

繼續提出問題，（等腰三角形除具有一般三角形的性質外，還有哪些特殊性質？）點出課題。

設計意圖：點出課題，激發學生的好奇心和求知欲，引領學生投入到本節課的學習中去。

（二）觀察猜想：探究驗證

把剪好的等腰三角形沿著折痕對折，你發現了什么？能用自己的語言描述出來嗎？

設計意圖：通過觀察、猜想，學生自己發現等腰三角形的性質。

（三）證明猜想：動手操作

1.找出命題（2）的題設和結論，并結合圖形寫出已知和求證。

2.我們以前學習了哪些證明角相等的方法？

3.請寫出證明過程。

設計意圖：幫助學生順利地由文字語言轉換成符號語言。引導學生把新的問題轉化成已學知識來解決，向學生滲透轉化的數學思想。

（四）例題欣賞：練習鞏固

教師出示例題，并用學到的數學知識解決數學問題。

設計意圖：教師的解題過程起示范作用，它引導學生體會數學的嚴謹。

（五）歸納小結：深化新知

等腰三角形的性質范文第5篇

一、教學實錄

1.巧設問題，力透基礎

問題1：用一條直線將一個三角形分成兩個三角形，怎樣分？

生1：過三角形的頂點作直線.

問題2：用一條直線將一個三角形分成兩個等腰三角形，怎樣分？

生2：這題是不是條件不足？

師：你來加個條件吧！

生2：（思考了一會兒）三角形的各內角是36°、72°、72°.

問題3：用一條直線將內角分別為36°、72°、72°的三角形分成兩個等腰三角形.

生3：作72°角的角平分線.

問題4：用一條直線將內角分別為25°、50°、105°的三角形分成兩個等腰三角形.

生4：將105°角分成25°和80°，分成兩三角形的內角分別是25°、25°、130°和50°、50°、80°

問題5：順利正確解決剛才兩個問題的同學請舉手，采訪你一下：你怎么這么厲害，就分成功了？

生5：我覺得最小的角是不能分的；根據所給內角的度數，先分出一個等腰三角形，再去證明另一個也是等腰三角形.

問題6：你太棒了！請同學們設計一個三角形，使之能被分成兩個等腰三角形.

生6：108°、36°、36°.

生7：10°、20°、150°.

生8：45°、45°、90°.

生9：任意的直角三角形.

師：（看著始終躍躍欲試的學生們）因時間關系，同學們不妨將自己的設計寫下來，并請思考：任何三角形都能被分成兩個等腰三角形嗎？

生齊答：不是！

師：證明一個假命題的方法是什么？

生：舉反例！

師：請證明“任何三角形能被分成兩個等腰三角形”是一個假命題.

生10：等邊三角形.

生11：一個三角形的內角為105°、5°、75°.

師：反例也可以舉出無數種，到底怎樣的三角形能被分成兩個等腰三角形呢？

問題7：探究一個三角形能被分割成兩個等腰三角形的條件.

評析：好的復習課，要兼顧全體學生；本節課前7個問題的設計，讓不同程度的學生都能有所得.既梳理了圖形分割的基本思路，又強化了對幾何問題的本質理解，能較好地促進學生對知識方法的接受和內化，這種問題驅動式的復習方式，值得借鑒！

2.鼓勵猜想，小心驗證

在ABC中，設∠A=α，∠B=β，∠C=γ，（α

過點B作直線l，交BC于點D如圖.可先令∠ABD=α（先定一個），則∠BDC=2α，接下來須讓BCD也滿足為等腰三角形，開始分類討論.

生12：我覺得應該分三種情況，①當γ=2α時；②當β-α=2α時；③當β-α=γ時.

師：ABC的特點呢？

生12：第一種情況的三角形中，一內角是另一內角的2倍；第二種情況可化為β=3α，即一內角是另一內角的3倍；第三種情況可化為β=α+γ=90°，即ABC是直角三角形.

師：（將學生的回答板書出來）你真厲害！歸納得井井有條.讓我們根據這一規律對剛才同學們所舉的三角形作一下判斷，順便也做個驗證.請同學試試，并簡略說明怎么分割.

生13：第一個三角形符合第二種情況，把108°分成36°和72°，就得到兩個等腰三角形.

師：你分析得完全正確；在一個內角是另一個內角三倍的情況下，只要把三倍角分成1∶2兩部分即可.

生14：第二個三角形符合第一種情況，把150°的角分成10°和140°.

師：又解決了一個問題；據同學們的方法，當一個角是另一個角的兩倍時，將第三個角分出較小的一個內角的角度.打鐵趁熱，想請同學們分割一下如下三角形：30°、50°、100°.

生15：這是第一種情況，可是我分不出來.

師：有沒有同學分割成功了？

學生都搖頭，并表示不解.

生16：我知道了，我們不能分割最小角，如果一個角是另一個內角的2倍，等待被分割的第三個角不能是最小角，所以情況一還有限制條件.我覺得應該180°-3α>α，α

師：你的發現實在是太精彩了！第一種情況屬于假命題，我們通過添加條件使其成為真命題，三角形中一個內角是另一個內角（小于45°）的2倍，則此三角形能被分割成兩個等腰三角形.

生17：第三個和第四個三角形都屬于直角三角形，只要將直角分成其余兩個銳角的度數即可.

師：說得真好！讓我們來觀察一下被分割后的直角三角形ABC，AD=BD，CD=BD，這一結論可用直角三角形的一個性質來描述，同學們試試？

生18：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.

師：我們無意間找到了證明這一性質的方法.

評析：數學離不開對數形規律的探究，好的方法能幫助我們快速厘清思路、辨明方向.這一階段的設計，層次分明、內涵豐富，讓學生較輕松地完成了規律的探求。通過有效追問，極大地豐富了學生的思維空間；而分類思想的滲透，則有助于培養學生思維的縝密性與良好品質.

3.緊扣規律，應用提高

問題8：把一個等腰三角形分成兩個等腰三角形，求原等腰三角形的頂角.

學生分小組探討3分鐘后派代表發言.

生19：我們小組直接用剛才所得的結論來解題的.設等腰三角形的頂角為x°，底角為y°，得一個基本等式：x+2y=180°.如果是直角三角形，那么就有x=90°；如果一個內角是另一個內角的2倍，則有x=2y或y=2x，分別得到x=90°，x=36°；如果一個內角是另一個內角的3倍，則有x=3y或y=3x，分別得到x=108°，x=（）°；綜上所述：原等腰三角形的頂角可以是90°、36°、108°和（）°.

全班鼓掌.回答的精彩程度不言而喻.

問題9：把一個正三角形分成四個等腰三角形.（用盡可能多的方法，課后完成）

評析：復習課的基本目的，一是內化知識，鞏固基礎；二是綜合運用，提升能力.從這個要求上看，本階段安排的兩個變式練習，有助于較好地達成教學目標.特別在基本圖形的提煉、解題思路的引領、基本規律的應用上，凸顯了教師對幾何教學本質的認識.

二、評析

本課主題明確，線索清晰，問題設置恰當；教師啟發有力，學生思維活躍，教學目標達成度較高，較好地實現了數學學習中“基礎、方法和能力”的有機統一.

1.精心設計問題，讓學生充分經歷有效的數學活動經驗

問題既是數學學習的心臟，又是思維活動的起點.通過問題來驅動教學，往往是實現夯實知識基礎，揭示本質特征，提煉數學方法，提升思維水平等復習要求的有效途徑.本課設計的問題1到問題6，起點較低，學生參與度很高，在上課伊始，較好地活躍了課堂氣氛.當然，其主要目的是鋪墊，通過對問題的基礎解剖、特殊練習，使學生深刻理解問題本質，為提升能力做好必要的準備.低起點、高立意的數學活動，讓每一位學生覺得原本枯燥的數學，因其能輕巧參與其中而變得親切生動起來了，是高效課堂的必然保證！

2.立足方法引領，讓學生在解題中發展數學思維