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1.理解概念的必要條件

提高數(shù)學(xué)課的教學(xué)質(zhì)量，要體現(xiàn)在使學(xué)生扎實(shí)地掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能、技巧，并且要使學(xué)生的能力得到提高、智力得到發(fā)展。數(shù)學(xué)概念是基礎(chǔ)知識(shí)的起點(diǎn)，理查德斯根譜指出：“對(duì)某個(gè)事物的理解，指的是將它同化進(jìn)入一個(gè)適當(dāng)?shù)膕chema之中。”這里的schema是圖式、結(jié)構(gòu)的意思。具體地說，理解是在感知的基礎(chǔ)上，通過思維加工，把新學(xué)習(xí)的內(nèi)容同化于已有的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中，或者改組擴(kuò)大原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，把新學(xué)習(xí)的內(nèi)容包括進(jìn)去，逐步達(dá)到認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)和規(guī)律的一種思維活動(dòng)。而使學(xué)生理解概念必須做到以下幾點(diǎn)：（一）、提供在各種情形下的概念模型或?qū)嵗＃ǘ⒘信e與概念有關(guān)但實(shí)質(zhì)不同的例子，以幫助辨別。（三）、給出與概念無關(guān)的例子，以加深認(rèn)識(shí)。避免出現(xiàn)具備概念特性但對(duì)概念理解可能會(huì)起副作用的例子，以防備干擾。（四）、詞與感性材料的正確結(jié)合。（五）、正確下定義。

2.關(guān)于概念的概述

概念是反映所研究對(duì)象的本質(zhì)屬性的一種思維形式，概念也是客觀事物的本質(zhì)屬性在人們頭腦中抽象、概括的反映。而概念的形成過程是從簡單的形式椄芯蹩跡齬淌前湊眨焊芯鯒知覺棻硐髼概念的模式進(jìn)行的，通過對(duì)事物的感性認(rèn)識(shí)，借助于分析、綜合、抽象和概括，才能形成概念。內(nèi)涵和外延是構(gòu)成概念的兩個(gè)重要的方面。數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵是指反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性，外延是數(shù)學(xué)概念所有對(duì)象的總和。有人統(tǒng)計(jì)過,現(xiàn)行的中學(xué)教材里出現(xiàn)了657個(gè)(其中初中有313個(gè),高中有344個(gè))概念，數(shù)學(xué)的全部內(nèi)容的展開,都基于這些概念之上,我們完全可以把數(shù)學(xué)概念稱為數(shù)學(xué)肌體的”細(xì)胞”,如果這些“細(xì)胞”不健全,肌體又怎么能夠強(qiáng)壯?所以,加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解,是使學(xué)生融會(huì)貫通地掌握數(shù)學(xué)知識(shí),增強(qiáng)能力的前提和關(guān)鍵。

3.理解概念和命題的過程和方法導(dǎo)引

中學(xué)數(shù)學(xué)教材，是由許多有關(guān)的概念和原理構(gòu)成的知識(shí)體系。概念是它的“知識(shí)單元”，原理則是由“知識(shí)單元”構(gòu)成的必然聯(lián)系。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)教材的理解，就是要理解教材中的概念、原理及其體系，把新學(xué)習(xí)的知識(shí)與已有的知識(shí)聯(lián)系起來，充實(shí)或擴(kuò)大原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成新的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)教材的真正理解。

（一）、提供與概念和命題相適應(yīng)的感性材料

根據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，要學(xué)生形成準(zhǔn)確的概念，其首要的條件，是使學(xué)生獲得十分豐富和切合實(shí)際的感性材料。當(dāng)日常概念與科學(xué)概念的內(nèi)涵一致時(shí)，起積極影響，不一致時(shí)起消極作用。如日常的“鄰居”概念有助于“鄰角”的理解；日常經(jīng)驗(yàn)的“垂”則干擾對(duì)數(shù)學(xué)上“垂直”的理解。在教學(xué)中，要密切聯(lián)系數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)模型，引導(dǎo)學(xué)生分析日常生活和生產(chǎn)實(shí)際中常見的事例，觀察有關(guān)的實(shí)物、圖示、模型，在具有充分的感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上引入概念，為上升到理性的高度準(zhǔn)備條件，促使具體到抽象的飛躍，同時(shí)，也使抽象的事物變得生動(dòng)可感，實(shí)現(xiàn)抽象到具體的轉(zhuǎn)化。

（二）、正確揭示數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延

概念在人們頭腦的形成，僅是人們對(duì)概念認(rèn)識(shí)的開始，對(duì)概念認(rèn)識(shí)的深化必須從概念的內(nèi)涵和外延上作深入的分析。分析概念的內(nèi)涵就是抓住概念的本質(zhì)特征。而概念和外延之間有著密切的關(guān)系，概念的內(nèi)涵嚴(yán)格地確定了概念的外延，反過來，概念的外延也確定了概念的內(nèi)涵，因此，概念的內(nèi)涵有所改變的話，一定導(dǎo)致概念的外延的改變，反過來也一樣。例如擴(kuò)大“平行四邊形”這個(gè)概念的內(nèi)涵，增加“對(duì)角線互相垂直”這一屬性，那么它的外延就縮小了，只剩下菱形和正方形了；如果縮小“平行四邊形”的內(nèi)涵，只要求有一組對(duì)邊平行，它的外延就擴(kuò)大了，除了平行四邊形外，還有梯形。所以，在教學(xué)過程中，應(yīng)注意在概念的形成過程中，對(duì)概念的內(nèi)涵和外延作透切的分析，對(duì)概念進(jìn)行去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造、制作、深化等過程，必須在感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)概念作辨證的分析，用不同的方式進(jìn)一步揭示不同概念的本質(zhì)屬性。

（三）利用變式和對(duì)比

比較可在同類事物中進(jìn)行，這是對(duì)一類事物的概括中，區(qū)別對(duì)象的一般和特殊，本質(zhì)與非本質(zhì)的重要條件。比較是在人腦中把各種事物或現(xiàn)象加以對(duì)比，來確定它們之間異同點(diǎn)和關(guān)系的思維過程。沒有比較就沒有鑒別。本質(zhì)要素必然是一類事物所共有的，正是從這一點(diǎn)出發(fā)，把對(duì)象的各要素進(jìn)行比較，進(jìn)行區(qū)分，從中找出一類事物所共有的本質(zhì)要素。這種比較在概念的引入、領(lǐng)會(huì)階段是很有必要的，有利于明確概念的內(nèi)涵。只有通過比較，才能真正識(shí)別概念，才能把它歸到一定的類別中去。比較還可以在不同類的，但相似、相近或相關(guān)的事物中進(jìn)行，這種比較能使相比客體的本質(zhì)更加明確，了解彼此之間的聯(lián)系與區(qū)別，防止知識(shí)間的混淆和割裂。另一方面，利用“變式”教學(xué)，對(duì)幫助學(xué)生對(duì)概念的理解起到很大的作用。所謂變式是指在直觀中，從不同的角度、方向和方式變換事物非本質(zhì)的屬性，以便揭示其本質(zhì)屬性的過程。變式不充分或不正確，往往會(huì)產(chǎn)生內(nèi)涵混淆，外延擴(kuò)大或縮小的概念錯(cuò)誤。例如在講解奇函數(shù)和偶涵數(shù)的概念時(shí)，進(jìn)行下列練習(xí)：判斷下列函數(shù)的奇偶性，比較其異同。

1.f(x)=+

2.f(x)=+.

3.f(x)=lg(ax+

)

學(xué)生一般將（1）、（2）誤判為偶函數(shù)，但（1）的定義域?yàn)閤≠1,且f(x)=0,∵f(－x)=f(x),f(－x)=-f(x)，所以，既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。而（2）中x=1，雖然f(x)=0，但不具有關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為非奇非偶函數(shù)。（3）中一般學(xué)生誤判為非奇非偶函數(shù)，是受思維定勢(shì)的影響，不會(huì)用分子有理化。為了突破這一難點(diǎn)，可采用下列方法判斷

F(-x)=－f(x)f(-x)＋f(x)=0

奇函數(shù)

F(-x)=f(x)f(-x)－f(x)=0

偶函數(shù)

解：f(-x)=lg(-ax+

∴f(x)+f(-x)=lg[(ax+)(-ax+)=lg1=0

∴f(-x)=-f(x),而x∈R

∴函數(shù)為奇函數(shù)。

通過上述問題的對(duì)比和變式，一方面，加深了學(xué)生對(duì)奇函數(shù)和偶函數(shù)的概念的理解；另一方面可以使學(xué)生從“陷阱”中跳出來，增強(qiáng)了刺激和情趣，使學(xué)生逐步養(yǎng)成用批判的態(tài)度來對(duì)待每一個(gè)問題的習(xí)慣，突破思維定勢(shì)負(fù)遷移的影響，從而使學(xué)生思維的批判性得到發(fā)展。

（四）抓住關(guān)鍵性的詞、句和符號(hào)的分析

在數(shù)學(xué)中，有的概念敘述簡練，寓意深刻。對(duì)這些概念，必須充分揭示概念中的關(guān)鍵詞的真實(shí)涵義。例如，“或”在我們?nèi)粘ＵZ言中可能有兩種涵義，一種是“可兼的”，一種是“不可兼”的，如符號(hào)“≥”，它表示大于或等于，是可兼的，而日常中我們所說的“我去打拳或跳舞，”卻是不可兼的。又如對(duì)六個(gè)基本三角函數(shù)的定義，應(yīng)抓住其中一個(gè)，如正弦函數(shù)，可這樣進(jìn)行分析：正弦函數(shù)的值本質(zhì)上是一個(gè)“比值”，它是角α的終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)y與這點(diǎn)到原點(diǎn)的距離r的比值，因此，它是一個(gè)數(shù)值；指出由于≤1，所以這個(gè)比值不超過1，這個(gè)比值與點(diǎn)在角α的終邊的位置無關(guān)，這可用相似三角形的原理

來說明，這個(gè)比值的大小隨角α的大小而變化，當(dāng)α取某個(gè)確定值，比值也有唯一的確定值與它對(duì)應(yīng)。如此以函數(shù)的概念為線索，從中找出自變量、函數(shù)以及對(duì)應(yīng)法則，從而對(duì)正弦函數(shù)概念的理解就比較深刻了。經(jīng)過對(duì)正弦函數(shù)概念的本質(zhì)屬性分析之后，指出角的終邊上的任意一點(diǎn)p(x,y)一經(jīng)確定，就涉及x，y，r這三個(gè)量，任取其中兩個(gè)量組成比值，有且僅有六個(gè)。因此，基本三角函數(shù)只有六個(gè)，從而對(duì)三角函數(shù)的外延，就揭示得十分清楚了。

（五）正確處理數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題抽象化和具體化的關(guān)系

用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示數(shù)學(xué)概念，既是數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)的優(yōu)點(diǎn)。由于數(shù)學(xué)概念本身比較抽象，加上用符號(hào)表示，從而使數(shù)學(xué)概念更抽象化，而概念所反映的客觀主體卻被人們所熟悉，通過對(duì)數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題具體化，人們可以進(jìn)一步認(rèn)識(shí)事物的基本結(jié)構(gòu)、屬性和特征；可以分出事物的表面特征和本質(zhì)特征，使認(rèn)識(shí)深化，可以分出概念的情景、條件、任務(wù)，便于利用概念去解決思維問題。因此，在教學(xué)過程中，要正確處理好數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題的抽象化和具體化的關(guān)系，首先要注意不要把概念與實(shí)際對(duì)象脫節(jié)，其次要注意不要把概念和符號(hào)脫節(jié)。例如學(xué)生往往把正弦函數(shù)的符號(hào)“sin”看成一個(gè)數(shù)，從而得出如下的錯(cuò)誤等式：sin(α+β)=sinα+sinβ。又如，不考慮反三角函數(shù)成立的條件，錯(cuò)誤地認(rèn)為：arcsin+arccos=也成立。

（六）、數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)化、從系統(tǒng)中加深理解知識(shí)間的聯(lián)系

數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性很強(qiáng)，任何一個(gè)概念都處在一定的在知識(shí)系統(tǒng)中，要掌握概念，必須弄清概念的地位和作用，以及概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，要在整體上、全局上把握概念的全貌，通過對(duì)所學(xué)的概念進(jìn)行歸納，把新學(xué)的概念歸納到原有的知識(shí)體系。一方面，有利于對(duì)新概念的理解，也有利于舊知識(shí)的鞏固和充實(shí)，并牢牢地記住，另一方面，有助于對(duì)原有的概念的修正，從而形成正確的概念體系。概括是使知識(shí)系統(tǒng)化的一個(gè)重要方面，在分析的基礎(chǔ)上，人可以對(duì)事物進(jìn)行再分析，這就是事物進(jìn)行歸納與分類，使其系統(tǒng)化的過程。所謂系統(tǒng)化，就是人腦把一般特征和本質(zhì)特征相同的事物，分類并歸納到一定類別系統(tǒng)中去的過程。由于有些種屬關(guān)系的概念在教材中常常是分散出現(xiàn)的,故應(yīng)適時(shí)地把它們聯(lián)系起來,歸納、概括于一個(gè)系統(tǒng)中。如學(xué)生掌握整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的知識(shí)后，可以概括歸納成有理數(shù)；當(dāng)數(shù)的概念擴(kuò)大、學(xué)習(xí)了無理數(shù)（，π等）之后，又可把有理數(shù)和無理數(shù)概括為實(shí)數(shù)；掌握了虛數(shù)，如（）之后，又可把實(shí)數(shù)與虛數(shù)概括為數(shù)，從而掌握系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，這就是系統(tǒng)化的過程。只有通過把概念系統(tǒng)化的過程，才能使學(xué)生真正掌握概念的使用，加深對(duì)概念的理解。