網絡科學數學論文
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1網絡科學的內涵
網絡科學有不同領域的定義，總體來說可以認為，網絡科學是研究各類實際系統復雜網絡結構共同規律的新興交叉科學，研究內容涉及網絡結構及其性質、網絡結構與功能之間的映射關系以及網絡動力學行為和預測，并對網絡的設計與控制提供可行的方法。網絡科學的研究對象包括物理網絡、信息網絡、生物網絡、認知網絡與社會網絡等。例如，自然界中存在新陳代謝網絡、蛋白質作用網絡、神經網絡、生態網絡等多個層次的生物網絡，物理世界中存在人造的電力網絡、城市交通網絡、航空網絡、計算機網絡等基礎設施類型的技術網絡，人類社會中有商業經濟網絡、人際關系網絡、恐怖組織網絡等各類社會網絡，同時萬維網、科學引文網絡、語言網絡等又構成了新型的信息網絡。另外，上述各類網絡相互交疊滲透又會形成混雜網絡。例如，在線社會網絡是社會網絡與計算機網絡融合而成，物聯網是物聯網絡與計算機網絡融合而成，移動互聯網作為新型計算機網絡，既是人類社交活動的主要平臺，也是地理位置等物理環境信息的感知工具；網絡中心作戰和基于信息系統的體系作戰涵蓋了信息空間、物理空間以及人的認知空間和社會關系與行動空間；生物網絡則涉及基因、細胞到人腦等機體多個層次，納米尺寸的量子世界更是呈現超大規模粒子之間的復雜相互作用。
2網絡科學與其他學科的交叉
網絡科學是基于數學和系統科學，結合物理學、復雜性科學、非線性科學、計算機與信息科學、生物科學、管理科學、社會科學發展起來的新興交叉學科，同時網絡科學亦日益滲透到各個學科，并對各學科發展產生了深遠的影響。它不僅為人們提供了認識真實世界的復雜性的全新的科學知識和視角，而且將成為改造客觀世界的新的方法論和有力武器。信息科學領域，網絡科學用于分析通信網絡等拓撲結構，對通信網絡結構與通信協議的設計具有巨大的指導意義；社會科學領域，網絡科學被應用于刻畫和分析人類社會關系，產生了社會網絡分析，根本上改變了社會學家以往依賴于采樣調查的研究方式；生命科學領域，基因相互作用網、蛋白質相互作用網、基因與蛋白質相互作用網、代謝網絡和神經網絡等都得到了分析，尤其是傳染病在人群傳播的研究中，對人際接觸網絡的分析又將生物科學和社會網絡分析結合起來；認知科學領域，大腦網絡分析在語言學中得到大量應用，人們相繼在各種不同語言的單詞的共現性網絡結構、語義網絡結構和語法關系網絡結構中發現了極其相似的結構特征，并且逐漸將網絡分析拓展到認知、記憶和語言學等諸多方面；軍事領域，近年來提出的大多數戰爭理論，如網絡中心戰、空海一體戰等，均建立在網絡科學理論基礎上，對網絡科學提出了重大需求。而在物理學領域，研究復雜網絡的主要原因是理解網絡拓撲結構對物理過程的影響，如網絡拓撲性質對典型物理過程———滲流與疾病傳播的影響。
二網絡科學對數學的挑戰
1數學是研究數和形的科學數學是研究
現實世界中數量關系和空間形式的科學。簡單說，是研究數和形的科學，其中數的研究又可以分為連續數學和離散數學。綜觀世界的文明史，人類經濟發展到每一個階段，都會產生代表這階段的科學技術，并存在一種通用的學科表達語言，以客觀地描述人們所了解的一些發展規律。在工業經濟時代，微積分的產生使得有關能量轉換、動力、瞬時速度、運動加速度、運動與運動之間的關系等問題可以在分析數學這個層面上統一認識，許多有關工業經濟中的問題可以通過解方程的方法進行求解，因此可以說微積分是工業革命時期的學科表達的數學語言基礎。而離散數學則是計算機革命時期學科表達的數學語言基礎，因為人們使用離散數學里面的概念和表示方法，來研究和描述計算機科學下所有分支的對象和問題，如電腦運算、編程語言、密碼學、自動定理證明和軟件開發等。那么，當今各類現實系統的復雜性需要什么樣的數學語言來刻畫和描述？可以說，網絡科學是其中一種最有可能的選擇。究竟什么樣的網絡的拓撲結構能夠描述真實的系統呢？如前所述，人們的認識經過了3個階段：19世紀40年代，人們認為系統各因素之間的關系可以用一些規則的結構表示出來，即規則網絡；20世紀60年代隨機圖理論誕生后，人們認為系統中個體之間的關系是隨機的，可以統一用一個概率來表達，即隨機網絡；世紀之交，人們進一步發現，很多真實的網絡既不是規則網絡，也不是隨機網絡，而是具有與前兩者皆不同的統計特征的網絡，被稱為復雜網絡。當然，復雜網絡目前并沒有嚴格的定義，但大致上包含以下幾層意思：首先，它是大量真實復雜系統的拓撲抽象，具有大量的節點和復雜的連接，網絡的拓撲不同于規則網絡或隨機網絡；其次，復雜網絡之上的動力學特征顯著不同于規則網絡或隨機網絡之上的動力學特征，無法用規則網絡或隨機網絡兩種理論來解釋。由于復雜網絡是大量復雜系統的拓撲抽象，因此對它的研究被認為有助于理解“復雜系統之所以復雜”這一至關重要的問題。但十余年已過去，盡管網絡科學在各個領域的應用飛速發展，但理論本身的發展卻停滯不前，亟待突破。
2如果我是歐拉，如何思考大數據
如果我是歐拉，我會再次用幾何的思想來考慮當今世界各類系統的復雜性，下面以大數據分析為例進行闡述。數據是信息的載體，那么數據內蘊信息的本質是什么？幾乎在網絡科學進入第2個階段的同時，通信的數學理論取得了突破，香農1948年發表了《通信的數學理論》，奠定了現代信息論的基礎，解決了數據如何完整高效地傳輸的問題。傳統的數據處理理論基于捕獲、傳輸、存儲和計算所有的數據，這一理念遍及過去所有的計算、通訊、數據獲取與分析等研究工作。但時間到了21世紀，人類已經進入大數據時代，數據生成的速度遠遠超過能夠及時捕獲并存儲的速度；數據積累的數量遠遠超過有效傳輸并集中管理的數量；數據攜帶的信息遠遠超過能夠有效識別和提取的能力。在大數據時代背景下，美國AT＆TShannon實驗室2010年2月指出：迫切需要發展符合“只取所需”原則的數據處理新理論。而建立新的數據處理理論前提是必須給出大數據內蘊信息的數學表達原理。大數據分析之所以難，一是因為數據量巨大，但更本質的問題還在于數據內蘊信息的復雜性。數據屬性之間關聯，相互影響，彼此耦合，形成了錯綜復雜的關系，使得人們面對大數據一片茫然，無處下手。如果把我們自己置于數據屬性空間中看這些復雜關系，就會理解到：數據屬性間的復雜關系，從數學的角度可抽象為高維空間中復雜的幾何結構，而且，我們的研究結果表明，數據之間的關系往往發生在高維屬性空間中低維子空間上，這與高維空間中數據顯著的稀疏特性是內在一致的，這就使得這種關聯關系本質上呈現出高維空間不同子空間的聚集特性，其計算非常困難。高維空間中幾何結構的拓撲識別是指利用拓撲學的方法分析高維空間中的幾何結構，尋找刻畫幾何結構的拓撲不變量，從而發現大數據復雜信息本質結構的過程，因此大數據分析問題本質上可歸結為不同子空間數據幾何結構的拓撲識別問題，即在數字的世界里尋找有價值的形狀，從而達到數與形的統一認識。這一觀點與當年歐拉解決七橋問題的思路有異曲同工之妙，但難度卻大了許多。首先，大數據復雜性信息表達的維數達到成千上萬維，需要高維拓撲理論而不再是歐拉當年的一維拓撲；其次，從計算角度分析，現在的網絡，其節點規模動則成千萬上十億，不再是歐拉當年可數的幾個節點，需要基于高性能的計算平臺才能實現大規模網絡規律的發現。2012年11月16日，《自然》雜志的科學報告欄目報道了德米特里－克里歐科夫教授的一項研究結果：宇宙膨脹與大腦成長相似，一些尚未發現的基礎規律可能支配著多種或大或小的系統，從腦細胞之間的電信號傳遞，到社交網絡的擴張，甚至是宇宙的膨脹。這一結果正是由加州圣地亞哥超算中心大數據項目組取得的。
3網絡科學的數學挑戰
網絡是現實世界系統存在的一種基本結構形態。從微觀層面看，進入納米尺寸的量子世界呈現超大規模粒子之間的復雜相互作用，理解網絡結構及其演化是掌握物質基本粒子運動規律、認識微觀世界的必需；從宏觀層面看，互聯網是現今最大的數據集之一，同時亦是人類社會活動的一面鏡子。以互聯網大數據為驅動的網絡科學研究是認識人類社會這一復雜系統的關鍵之鑰，必將顯著提高人類認識世界改造世界的能力，促進人類社會的全面發展。整個世界呈現出不斷網絡化的趨勢，人類社會進入全面網絡化時代，但卻缺乏理解、設計、管理網絡的理論基礎。綜合起來分析，作為網絡科學的數學理論面臨4個方面的挑戰：一是針對復雜性數學描述的挑戰，需要研究系統復雜性新的網絡拓撲表示理論，復雜性涉及實際系統的高維屬性和關系存在的低維流形子空間，需要創新高維空間的子空間流形拓撲理論和代數幾何拓撲學理論，并超越傳統圖論的方法去描述子空間多元關系；二是針對當今網絡規模動則上千萬億級的計算挑戰，需要研究大規模稀疏網絡結構的計算理論，面對大規模稀疏網絡求解問題，需要計算和統計分析以及優化數學方法的創新，并利用高性能并行計算機高效實現；三是針對網絡動態變化的挑戰，需要研究大規模網絡結構的動力學行為，大規模網絡上的動力學行為研究離不開偏微分方程組分析和求解等數學理論新的發現；四是針對不同層次網絡混雜的問題，也就是網絡的網絡問題，需要研究網絡融合的數學機理，計算機網絡、社會網絡、物聯網絡等各種網絡彼此交叉、滲透，形成網絡的網絡，體現了信息域、社會域和物理域等多域交鏈和相互作用的結果，不但催生大量新型網絡應用，而且對網絡融合機理提出挑戰。總之，系統越復雜，對數學理論工具的需求就越迫切，因此，網絡科學研究必將極大牽引數學基礎理論的創新發展。目前，正處于網絡科學發展第4個階段的前夜，誰又將是下一個突破者呢？
作者：易東云趙城利黃強娟單位：國防科學技術大學理學院數學與系統科學系
