1將數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)分析教學(xué)的意義

在過去常規(guī)的數(shù)學(xué)分析教學(xué)課程只要以公式推導(dǎo)、定理證明為主要教學(xué)內(nèi)容，卻對(duì)數(shù)學(xué)分析的應(yīng)用思想以及融合貫通少有講授。這就導(dǎo)致學(xué)生們雖熟練掌握這門課程的理論知識(shí)，但是學(xué)生們將掌握的知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的解決過程中卻存在效果不滿意，或無法學(xué)以致用。因此學(xué)生會(huì)形成數(shù)學(xué)的掌握僅僅是為了考試而學(xué)習(xí)，無現(xiàn)實(shí)意義等錯(cuò)誤思想。若在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)過程中融合數(shù)學(xué)建模方式進(jìn)行教學(xué)，利用數(shù)學(xué)建模思想來熏陶學(xué)生，通過通過將數(shù)學(xué)的意義思想完整的進(jìn)行介紹，將數(shù)學(xué)概念與公式的實(shí)際源頭與應(yīng)用情況進(jìn)行宣教，使學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間存在的密切關(guān)系。首先，通過利用數(shù)學(xué)建模思想融入數(shù)學(xué)分析的教學(xué)課程中可有效促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)的行使效果。適當(dāng)配合數(shù)學(xué)模型方式糅合數(shù)學(xué)分析的理論知識(shí)與實(shí)際方法，可幫助學(xué)生迅速理解數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容概念，全面掌握理論知識(shí)與實(shí)踐能力。其次，利用數(shù)學(xué)建模思想促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，以改善在教學(xué)過程中因理論性復(fù)雜、定義生澀難懂導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)積極性不高以及枯燥乏味等數(shù)學(xué)教學(xué)問題。因此，在數(shù)學(xué)分析的教學(xué)中融合數(shù)學(xué)建模教學(xué)方式具有巨大的應(yīng)用價(jià)值。

2數(shù)學(xué)建模思想在概念教學(xué)中的滲透

按照大范圍來講，數(shù)學(xué)分析的內(nèi)容中包含了函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、積分等數(shù)學(xué)概念，這類概念均屬于實(shí)際事物數(shù)量表現(xiàn)或空間形式概括而來的數(shù)學(xué)模型。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程我們可以根據(jù)概念的具體事物原型或平時(shí)生活中易見到的事物進(jìn)行引用，讓學(xué)生了解到理論上的概念性知識(shí)不僅僅存在與課本中，更與日常生活中具有緊密的關(guān)系。對(duì)此，老師在教學(xué)相關(guān)概念知識(shí)時(shí)，最好聯(lián)系實(shí)際，創(chuàng)造合適的學(xué)習(xí)環(huán)境，為學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中通過適當(dāng)?shù)挠^察、想象、研究、驗(yàn)證等方式來主導(dǎo)學(xué)生的教學(xué)活動(dòng)。例如微積分教學(xué)中，剛開始感覺其較為抽象籠統(tǒng)，不過仔細(xì)觀察其形成過程會(huì)發(fā)現(xiàn)其實(shí)具有較多的基礎(chǔ)原型，通過旋轉(zhuǎn)體體積、曲邊梯形面積等具體問題緊密聯(lián)系，應(yīng)用微元法求解即可得出積分這個(gè)較為抽象的概念。通過適當(dāng)?shù)娜〔?，建立概念模型，引?dǎo)學(xué)生對(duì)教學(xué)的積極興趣，可比簡(jiǎn)單的利用數(shù)學(xué)符號(hào)來描述抽象概念要具體生動(dòng)得多。

3數(shù)學(xué)建模思想在定理證明中的滲透

在數(shù)學(xué)分析課程中存在較多的定理，而怎樣在教學(xué)過程中讓學(xué)生熟練掌握帶來并應(yīng)用則成為目前數(shù)學(xué)分析教學(xué)中較為困難的。其實(shí)在書本中大部分定理是有著具體的意義，不過在通過籠統(tǒng)的刻印組書本中后導(dǎo)致定理創(chuàng)造者實(shí)際想法無法清晰表現(xiàn)在其中，致使學(xué)生在接受定理教學(xué)中感到茫然。對(duì)此，在定理教學(xué)過程老師應(yīng)結(jié)合該定理知識(shí)的源指出處以及歷史淵源，從而促進(jìn)學(xué)生的求知欲取進(jìn)一步了解該定理的意義與作用。同時(shí)應(yīng)用建模思想將定理作為模型的一類，利用前期設(shè)計(jì)的特定問題引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)定理定論，通過這種方式讓學(xué)生在吸收定理知識(shí)的過程中體驗(yàn)到研究探索發(fā)現(xiàn)的重要性，為學(xué)生樹立的創(chuàng)新觀念。

[內(nèi)容摘要]學(xué)科的研究工具,取決于其研究對(duì)象的特殊性,學(xué)科研究對(duì)象的特殊性又取決于學(xué)科的任務(wù)。作為一門研究人類經(jīng)濟(jì)行為和現(xiàn)象的社會(huì)科學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)要承擔(dān)的任務(wù)決定了它有獨(dú)特的研究對(duì)象,因此經(jīng)濟(jì)學(xué)在探索經(jīng)濟(jì)規(guī)律的時(shí)候,既不能用顯微鏡,也不能用化學(xué)試劑,用馬克思的話說,“必須用抽象力”來解決問題。正是通過這種抽象力,經(jīng)濟(jì)學(xué)形成了自己的研究手段和工具。當(dāng)代經(jīng)濟(jì)學(xué)已廣泛使用數(shù)學(xué)作為研究工具,這有利于提高經(jīng)濟(jì)學(xué)的工作效率,但如果經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)學(xué)化走過了頭,也會(huì)使經(jīng)濟(jì)學(xué)失去社會(huì)科學(xué)的應(yīng)有特征。

一、經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析框架

經(jīng)濟(jì)學(xué)的理論分析框架由三個(gè)主要部分組成:視角(perspective)、參照系(reference)和分析工具(analyticaltools)。第一,現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了從實(shí)際出發(fā)看問題的視角。這些視角指導(dǎo)我們避開細(xì)枝末節(jié),把注意力引向關(guān)鍵的、核心的問題。經(jīng)濟(jì)學(xué)家看問題的出發(fā)點(diǎn)通?；谌?xiàng)基本假設(shè):經(jīng)濟(jì)人的偏好、生產(chǎn)技術(shù)和制度約束下可供使用的資源稟賦。用經(jīng)濟(jì)學(xué)的視角看問題,消費(fèi)者想買到物美價(jià)廉的商品,企業(yè)家想賺取利潤(rùn),都是很自然的。經(jīng)濟(jì)學(xué)就是要探討在個(gè)人自利動(dòng)機(jī)的驅(qū)動(dòng)下,人們?nèi)绾卧诮o定的機(jī)制下互相作用,達(dá)到某種均衡狀態(tài),并且評(píng)估在此狀態(tài)下是否有可能在沒有參與者受損的前提下讓一部分人有所改善(即是否可以提高效率)。以此為出發(fā)點(diǎn),經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析往往集中在各種間接機(jī)制(比如價(jià)格、市場(chǎng)供求因素等)對(duì)經(jīng)濟(jì)人行為的影響,并以“均衡”、“效率”作為分析的著眼點(diǎn)。以這種視角分析問題不僅具有方法的一致性,且常常會(huì)得出出人意料,卻合乎情理邏輯的結(jié)論。第二,經(jīng)濟(jì)學(xué)提供了多個(gè)參照系。參照系對(duì)任何學(xué)科的建立和發(fā)展都極為重要,經(jīng)濟(jì)學(xué)也不例外。這些參照系的重要性并不在于它們是否準(zhǔn)確無誤地描述了現(xiàn)實(shí),而在于建立了一些讓人們更好地理解現(xiàn)實(shí)的標(biāo)尺。經(jīng)濟(jì)學(xué)家的頭腦中總有幾個(gè)參照系,這樣,分析經(jīng)濟(jì)問題時(shí)就有可比性。比如討論資源配置和價(jià)格問題時(shí),充分競(jìng)爭(zhēng)下的一般均衡理論就是一個(gè)參照系;討論產(chǎn)權(quán)和法的作用時(shí),科斯定理就是一個(gè)參照系。參照系的建立對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展起到了有效的推動(dòng)作用。第三,經(jīng)濟(jì)學(xué)采用了一系列強(qiáng)有力的“分析工具”,它們多是各種圖象模型和數(shù)學(xué)模型。比如:供需曲線圖象模型,它以數(shù)量和價(jià)格分別為橫、縱軸,提供了一個(gè)非常方便和多樣化的分析工具。經(jīng)濟(jì)學(xué)家用這一工具來分析局部均衡下的市場(chǎng)資源配置、市場(chǎng)扭曲、市場(chǎng)失靈等問題和政府干預(yù)市場(chǎng)的政策效果。這種工具的力量在于,用較為簡(jiǎn)明的圖象和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)幫助我們深入分析紛繁復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)行為和現(xiàn)象。

二、數(shù)學(xué)工具對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的影響

現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)的一個(gè)明顯特點(diǎn)是越來越多地使用數(shù)學(xué)(包括統(tǒng)計(jì)學(xué))作為分析工具,絕大多數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)前沿論文都包含數(shù)學(xué)或計(jì)量模型。從經(jīng)濟(jì)學(xué)的分析框架來看,這并不難理解,因?yàn)閰⒄障档慕⒑头治龉ぞ叩陌l(fā)展通常都要借助數(shù)學(xué)。但是,在部分經(jīng)濟(jì)學(xué)家的理論研究中,逐漸形成了一個(gè)基于唯數(shù)主義的數(shù)學(xué)化傾向,這種傾向偏離了經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本視角,不僅不能為非西方世界的經(jīng)濟(jì)學(xué)家所接受,而且在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家內(nèi)部也頗存異議。因此,我們必須一分為二地看待數(shù)學(xué)工具對(duì)經(jīng)濟(jì)學(xué)發(fā)展的影響。

(一)數(shù)學(xué)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用從理論研究角度,借助數(shù)學(xué)模型有三個(gè)優(yōu)勢(shì):第一,數(shù)學(xué)語言可以清楚地描述前提假定,這使得經(jīng)濟(jì)學(xué)的推理與分析過程呈現(xiàn)出數(shù)理邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性。例如,邊際效應(yīng)價(jià)值實(shí)際上是在對(duì)效用函數(shù)進(jìn)行測(cè)定的基礎(chǔ)上,運(yùn)用一系列聯(lián)立方程組推導(dǎo)的結(jié)果。社會(huì)資源最優(yōu)配置的帕累托最優(yōu)理論,也是運(yùn)用聯(lián)立方程組對(duì)生產(chǎn)和交換均達(dá)到最優(yōu)配置下社會(huì)福利最大化的闡述。第二,數(shù)學(xué)方法使經(jīng)濟(jì)學(xué)擁有了一個(gè)統(tǒng)一的語話體系,并進(jìn)而使經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展具有了一個(gè)共同的基礎(chǔ),讓后人較容易在已有的研究工作上繼續(xù)開拓,也使得在深層次上發(fā)現(xiàn)似乎不相關(guān)的結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)變成可能。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)就是在這一共同的話語體系下獲得長(zhǎng)足的發(fā)展。第三,數(shù)學(xué)表述具有文字性表述所不具備的確定性與精確性。數(shù)學(xué)推導(dǎo)具有數(shù)理上的邏輯性,運(yùn)用數(shù)學(xué)模型討論經(jīng)濟(jì)問題,學(xué)術(shù)爭(zhēng)議便可以建立在這樣的基礎(chǔ)上:或不同意對(duì)方前提假設(shè);或找出對(duì)方論證錯(cuò)誤;或是發(fā)現(xiàn)修改原模型假設(shè)會(huì)得出不同的結(jié)論。這樣就可以有效地避免經(jīng)濟(jì)學(xué)理解上的歧義,避免基于不同理解而發(fā)生的毫無意義的爭(zhēng)論,因此,從整體上有利與提高經(jīng)濟(jì)學(xué)家工作的效率。從實(shí)證研究角度看,使用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法的優(yōu)勢(shì)也比較明顯:其一是以經(jīng)濟(jì)理論的數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)可以發(fā)展出用于定性和定量分析的計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型;其二是證據(jù)的數(shù)量化使得實(shí)證研究具有系統(tǒng)性;其三是使用精致復(fù)雜的統(tǒng)計(jì)方法可以讓研究者從已有的數(shù)據(jù)中最大程度地汲取有用的信息。因此,運(yùn)用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行經(jīng)濟(jì)學(xué)研究可以把實(shí)證分析建立在理論基礎(chǔ)上,并從系統(tǒng)的數(shù)據(jù)中定量地檢驗(yàn)理論假說和估計(jì)參數(shù)的數(shù)值。這就可以減少經(jīng)驗(yàn)性分析中的表面化和偶然性,并分別確定它在經(jīng)濟(jì)意義下的顯著程度。

康托爾是19世紀(jì)末20世紀(jì)初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭(zhēng)議的人物之一。19世紀(jì)末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭(zhēng)論乃至嚴(yán)厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴(kuò)充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)基礎(chǔ)，集合論不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個(gè)丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對(duì)數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時(shí)得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個(gè)目地進(jìn)入了柏林大學(xué)。這時(shí)柏林大學(xué)正在形成一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心?？低泻茉缇拖蛲@所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認(rèn)為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強(qiáng)列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。

集合論在19世紀(jì)誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀(jì)，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴(yán)重的邏輯困難，而且還使實(shí)無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽(yù)掃地。19世紀(jì)上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級(jí)數(shù)的理論。正是這19世紀(jì)發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴(yán)密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至產(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴(yán)格地說柯西的極限概念并沒有真正地?cái)[脫幾何直觀，確實(shí)地建立在純粹嚴(yán)密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機(jī)影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴(yán)格化。在這一過程中，都涉及到對(duì)微積分的基本研究對(duì)象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作?？傊?，為尋求微積分徹底嚴(yán)密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個(gè)重要原因。

康托爾是19世紀(jì)末20世紀(jì)初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭(zhēng)議的人物之一。19世紀(jì)末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭(zhēng)論乃至嚴(yán)厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴(kuò)充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)基礎(chǔ)，集合論不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個(gè)丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對(duì)數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時(shí)得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個(gè)目地進(jìn)入了柏林大學(xué)。這時(shí)柏林大學(xué)正在形成一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心。康托很早就向往這所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認(rèn)為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強(qiáng)列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。

集合論在19世紀(jì)誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀(jì)，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴(yán)重的邏輯困難，而且還使實(shí)無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽(yù)掃地。19世紀(jì)上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級(jí)數(shù)的理論。正是這19世紀(jì)發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴(yán)密化?？挛魉枷胗幸欢ǖ哪：裕踔廉a(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴(yán)格地說柯西的極限概念并沒有真正地?cái)[脫幾何直觀，確實(shí)地建立在純粹嚴(yán)密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機(jī)影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴(yán)格化。在這一過程中，都涉及到對(duì)微積分的基本研究對(duì)象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作?？傊瑸閷で笪⒎e分徹底嚴(yán)密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個(gè)重要原因。

康托爾是19世紀(jì)末20世紀(jì)初德國偉大的數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)立者。是數(shù)學(xué)史上最富有想象力，最有爭(zhēng)議的人物之一。19世紀(jì)末他所從事的關(guān)于連續(xù)性和無窮的研究從根本上背離了數(shù)學(xué)中關(guān)于無窮的使用和解釋的傳統(tǒng)，從而引起了激烈的爭(zhēng)論乃至嚴(yán)厲的譴責(zé)。然而數(shù)學(xué)的發(fā)展最終證明康托是正確的。他所創(chuàng)立的集合論被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)創(chuàng)造，集合概念大大擴(kuò)充了數(shù)學(xué)的研究領(lǐng)域，給數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)提供了一個(gè)基礎(chǔ)，集合論不僅影響了現(xiàn)代數(shù)學(xué)，而且也深深影響了現(xiàn)代哲學(xué)和邏輯。

1．康托爾的生平

1845年3月3日，喬治·康托生于俄國的一個(gè)丹麥—猶太血統(tǒng)的家庭。1856年康托和他的父母一起遷到德國的法蘭克福。像許多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家一樣，他在中學(xué)階段就表現(xiàn)出一種對(duì)數(shù)學(xué)的特殊敏感，并不時(shí)得出令人驚奇的結(jié)論。他的父親力促他學(xué)工，因而康托在1863年帶著這個(gè)目地進(jìn)入了柏林大學(xué)。這時(shí)柏林大學(xué)正在形成一個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的中心?？低泻茉缇拖蛲@所由外爾斯托拉斯占據(jù)著的世界數(shù)學(xué)中心之一。所以在柏林大學(xué)，康托受了外爾斯特拉斯的影響而轉(zhuǎn)到純粹的數(shù)學(xué)。他在1869年取得在哈勒大學(xué)任教的資格，不久后就升為副教授，并在1879年被升為正教授。1874年康托在克列勒的《數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合理論的第一篇革命性文章。數(shù)學(xué)史上一般認(rèn)為這篇文章的發(fā)表標(biāo)志著集合論的誕生。這篇文章的創(chuàng)造性引起人們的注意。在以后的研究中，集合論和超限數(shù)成為康托研究的主流，他一直在這方面直到1897年，過度的思維勞累以及強(qiáng)列的外界刺激曾使康托患了精神分裂癥。這一難以消除的病根在他后來30多年間一直斷斷續(xù)續(xù)影響著他的生活。1918年1月6日，康托在哈勒大學(xué)的精神病院中去世。

2．集合論的背景

為了較清楚地了解康托在集合論上的工作，先介紹一下集合論產(chǎn)生的背景。

集合論在19世紀(jì)誕生的基本原因，來自數(shù)學(xué)分析基礎(chǔ)的批判運(yùn)動(dòng)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展必然涉及到無窮過程，無窮小和無窮大這些無窮概念。在18世紀(jì)，由于無窮概念沒有精確的定義，使微積分理論不僅遇到嚴(yán)重的邏輯困難，而且還使實(shí)無窮概念在數(shù)學(xué)中信譽(yù)掃地。19世紀(jì)上半葉，柯西給出了極限概念的精確描述。在這基礎(chǔ)上建立起連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分以及無窮級(jí)數(shù)的理論。正是這19世紀(jì)發(fā)展起來的極限理論相當(dāng)完美的解決了微積分理論所遇到的邏輯困難。但是，柯西并沒有徹底完成微積分的嚴(yán)密化?？挛魉枷胗幸欢ǖ哪：裕踔廉a(chǎn)生邏輯矛盾。19世紀(jì)后期的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)使柯西產(chǎn)生邏輯矛盾的問題的原因在奠定微積分基礎(chǔ)的極限概念上。嚴(yán)格地說柯西的極限概念并沒有真正地?cái)[脫幾何直觀，確實(shí)地建立在純粹嚴(yán)密的算術(shù)的基礎(chǔ)上。于是，許多受分析基礎(chǔ)危機(jī)影響的數(shù)學(xué)家致力與分析的嚴(yán)格化。在這一過程中，都涉及到對(duì)微積分的基本研究對(duì)象─連續(xù)函數(shù)的描述。在數(shù)與連續(xù)性的定義中，有涉及關(guān)于無限的理論。因此，無限集合在數(shù)學(xué)上的存在問題又被提出來了。這自然也就導(dǎo)致尋求無限集合的理論基礎(chǔ)的工作。總之，為尋求微積分徹底嚴(yán)密的算術(shù)化傾向，成了集合論產(chǎn)生的一個(gè)重要原因。