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摘要：離散數(shù)學(xué)是培養(yǎng)計(jì)算思維能力的核心課程，教學(xué)內(nèi)容抽象，理論性強(qiáng)。結(jié)合離散數(shù)學(xué)當(dāng)前教學(xué)存在的不足之處和新工科教育要求，探索離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革，以期提升新工科學(xué)生的離散化、抽象概括、形式推理、發(fā)散思維等計(jì)算思維能力。

關(guān)鍵詞：新工科；離散數(shù)學(xué)；計(jì)算思維；教學(xué)內(nèi)容

生的計(jì)算思維培養(yǎng)需求，延展了集合關(guān)系的計(jì)算機(jī)表示、關(guān)系分析及其函數(shù)構(gòu)造的應(yīng)用領(lǐng)域，提高了同態(tài)和同構(gòu)思維在不同行業(yè)的創(chuàng)新應(yīng)用。同時(shí)，降低了部分知識(shí)的重要性如數(shù)論和組合數(shù)學(xué)。⑵對(duì)離散數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用提出了高要求。新工科理念驅(qū)使的學(xué)科交叉歸根結(jié)底是數(shù)學(xué)模型和可行計(jì)算方法的有機(jī)結(jié)合，這促使離散數(shù)學(xué)應(yīng)適當(dāng)減少純理論知識(shí)，致力于培養(yǎng)學(xué)生探索自身專業(yè)的離散對(duì)象內(nèi)在關(guān)系、關(guān)系分析和多角度解決實(shí)踐問(wèn)題的能力。繼承傳統(tǒng)工科學(xué)生對(duì)解的存在性和表示等優(yōu)點(diǎn)，探索解的可行性分析，促使理論轉(zhuǎn)化為實(shí)踐。⑶跨學(xué)科計(jì)算思維能力培養(yǎng)。新工科建設(shè)要求學(xué)生在掌握專業(yè)理論知識(shí)的前提下，實(shí)現(xiàn)專業(yè)術(shù)語(yǔ)的符號(hào)化、定理數(shù)據(jù)化，推理過(guò)程化和模型離散化，結(jié)合人工智能解決本專業(yè)大型復(fù)雜的工程問(wèn)題。⑷跨學(xué)科發(fā)散思維和創(chuàng)新能力培養(yǎng)。跨學(xué)科創(chuàng)新需繼承傳統(tǒng)相關(guān)學(xué)科的優(yōu)點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)相關(guān)學(xué)科知識(shí)和技能的互補(bǔ)。隨著社會(huì)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，各行業(yè)相互滲透，這造成了憑借單一專業(yè)知識(shí)難以解決的行業(yè)問(wèn)題日益增多，如海量數(shù)據(jù)的信息挖掘和解空間遷移。為了解決新出現(xiàn)的行業(yè)難題，這需要整合相關(guān)學(xué)科的知識(shí)體系、將相關(guān)學(xué)科的先進(jìn)技術(shù)融于一體、培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

1傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容缺陷

目前離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容主要包括數(shù)理邏輯、集合論、圖論和代數(shù)系統(tǒng)，有些還涉及數(shù)論、組合數(shù)學(xué)和概率論等內(nèi)容[5]。其數(shù)理邏輯主要研究自然語(yǔ)句的符號(hào)表示、形式證明和驗(yàn)證推理，從簡(jiǎn)單語(yǔ)句的共性出發(fā)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)離散對(duì)象的概括能力；集合論以集合元素為研究對(duì)象，探索集合元素的二元關(guān)系、計(jì)算機(jī)表示和關(guān)系性質(zhì)，以數(shù)據(jù)聚類為實(shí)例延伸集合論的實(shí)踐環(huán)節(jié)；圖論是二元關(guān)系的一種直觀表示和推廣，有利于從局部和整體出發(fā)挖掘集合關(guān)系。在圖論知識(shí)的教學(xué)中以計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)路徑尋優(yōu)為實(shí)例，鍛煉學(xué)生分析問(wèn)題的能力。代數(shù)系統(tǒng)的教學(xué)中以運(yùn)算為出發(fā)點(diǎn)，揭示不同運(yùn)算之間的內(nèi)在聯(lián)系和構(gòu)造新運(yùn)算，以支持向量機(jī)的多項(xiàng)式核函數(shù)和徑向基函數(shù)為實(shí)例，展示新運(yùn)算解決問(wèn)題的有效性。傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容及其實(shí)踐均是以計(jì)算機(jī)科學(xué)和軟件工程專業(yè)為基石，致力于培養(yǎng)學(xué)生的概括抽象能力、邏輯推理能力和歸納創(chuàng)新能力。但面對(duì)跨專業(yè)的計(jì)算思維培養(yǎng)，其教學(xué)內(nèi)容過(guò)于理論化、知識(shí)點(diǎn)分散而獨(dú)立、相關(guān)專業(yè)的應(yīng)用實(shí)例較少。這些缺陷使得該課程的教學(xué)內(nèi)容、知識(shí)點(diǎn)和技能運(yùn)用能力難以在其他工科實(shí)踐中得到體現(xiàn)。⑴教學(xué)內(nèi)容過(guò)于理論化[6]。離散數(shù)學(xué)具有多概念、多符號(hào)、強(qiáng)理論、高度抽象等特點(diǎn)，這使得教師在授課過(guò)程中傾向概念定義、符號(hào)說(shuō)明和理論演繹推理，側(cè)重于數(shù)學(xué)的抽象性和嚴(yán)密性，強(qiáng)調(diào)理論結(jié)論和證明技巧。忽略了離散數(shù)學(xué)的工業(yè)應(yīng)用背景，使得學(xué)生被動(dòng)地灌注了大量概念、證明技能，推理方法和定理結(jié)論，但因缺乏與專業(yè)具體問(wèn)題的有機(jī)結(jié)合，造就了“學(xué)而不用”的現(xiàn)象，從而難以培養(yǎng)學(xué)生對(duì)自身專業(yè)知識(shí)的概括能力、分析推理能力和靈活運(yùn)用能力。⑵教學(xué)內(nèi)容過(guò)于專業(yè)化。傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容主要研究離散量的結(jié)構(gòu)及關(guān)系，它為計(jì)算機(jī)科學(xué)和軟件工程專業(yè)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)與分析、編譯原理、數(shù)據(jù)庫(kù)原理、人工智能等課程提供數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的實(shí)例主要來(lái)源于機(jī)器學(xué)習(xí)、計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)和通信編碼等專業(yè)領(lǐng)域，而涉及跨行業(yè)知識(shí)的應(yīng)用實(shí)踐環(huán)節(jié)較弱，如離散數(shù)學(xué)中關(guān)于圖細(xì)化僅以概念形成給出，沒(méi)有具體闡述細(xì)化方法和及其優(yōu)缺點(diǎn)，這限制了圖細(xì)化在有限元分析方法(物理專業(yè))的拓展應(yīng)用。薄弱的實(shí)踐環(huán)節(jié)不能有效激發(fā)跨專業(yè)學(xué)生對(duì)該課程學(xué)習(xí)的興趣，導(dǎo)致教學(xué)效果不理想。⑶教學(xué)知識(shí)點(diǎn)過(guò)于獨(dú)立分散[7]。離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容主要涉及自然語(yǔ)句、集合、圖論和運(yùn)算等對(duì)象，且每個(gè)對(duì)象分別對(duì)應(yīng)各自獨(dú)立的、自成體系的知識(shí)模塊。其中數(shù)理邏輯根據(jù)簡(jiǎn)單語(yǔ)句的共性，對(duì)命題進(jìn)行命題符號(hào)化表示，結(jié)合推理規(guī)則進(jìn)行符號(hào)推理演算和證明；集合側(cè)重于闡述元素關(guān)系的存在與否，關(guān)系的共性及其應(yīng)用；圖論以二元關(guān)系的直觀表示為基礎(chǔ)，借助鄰接矩陣和關(guān)聯(lián)矩陣分析圖的道路、連通分支數(shù)和子圖。代數(shù)系統(tǒng)根據(jù)運(yùn)算的可交換性、可結(jié)合性、幺元和逆元的存在性，講述半群、群和布爾代數(shù)及其應(yīng)用。這些對(duì)象及其內(nèi)容自成體系，強(qiáng)調(diào)知識(shí)模塊的獨(dú)立性和完備性，使得學(xué)生支離破碎地學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，缺乏系統(tǒng)掌握相關(guān)內(nèi)容。各自獨(dú)立的知識(shí)模塊削弱了離散數(shù)學(xué)與專業(yè)課程的關(guān)聯(lián)，使得相關(guān)內(nèi)容在工程問(wèn)題分析、模型構(gòu)建、模型離散化和求解的可行性等方面未充分發(fā)揮其作用。同時(shí)每個(gè)知識(shí)模塊具有多概念、多公式，強(qiáng)理論、強(qiáng)抽象和強(qiáng)邏輯等特點(diǎn)，這種“兩多三強(qiáng)”的特性導(dǎo)致大部分學(xué)生將離散數(shù)學(xué)當(dāng)作一門(mén)純數(shù)學(xué)理論課程，難以將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)踐。

2離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容改革

跨學(xué)科交叉專業(yè)應(yīng)以多學(xué)科交叉理論為基礎(chǔ)，實(shí)踐教學(xué)為重點(diǎn)，培養(yǎng)工程實(shí)踐能力、創(chuàng)新能力和智能化應(yīng)用能力，達(dá)到自主創(chuàng)新解決業(yè)界問(wèn)題。對(duì)此，學(xué)生需具有多學(xué)科專業(yè)語(yǔ)句符號(hào)化，專業(yè)相關(guān)的形式化推理、演繹和證明能力，挖掘?qū)ο箨P(guān)系、計(jì)算機(jī)表示、模型創(chuàng)新構(gòu)建和可行計(jì)算等思維能力。面向跨學(xué)科計(jì)算思維的培養(yǎng)需求，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容應(yīng)繼承傳統(tǒng)工科教學(xué)優(yōu)點(diǎn)，結(jié)合計(jì)算機(jī)科學(xué)和工業(yè)智能，培養(yǎng)交叉專業(yè)學(xué)生的歸納能力、概括能力、計(jì)算思維和工程實(shí)踐能力。

2.1教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)化

傳統(tǒng)工科專業(yè)課程普遍具有研究對(duì)象明確、知識(shí)模塊聯(lián)系緊密等特點(diǎn)。如電力系統(tǒng)規(guī)劃課程以電網(wǎng)為對(duì)象，僅僅圍繞電網(wǎng)規(guī)劃和建設(shè)，分析不確定因素對(duì)電網(wǎng)的負(fù)面影響和電力預(yù)測(cè)等內(nèi)容。面對(duì)學(xué)生習(xí)慣于接受系統(tǒng)性的知識(shí)內(nèi)容，離散數(shù)學(xué)的知識(shí)模塊需要重組優(yōu)化，突出知識(shí)模塊間的潛在聯(lián)系，彌補(bǔ)其獨(dú)立性。如在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，以自然語(yǔ)句為對(duì)象，根據(jù)語(yǔ)義將語(yǔ)句分為命題（對(duì)象外在屬性判斷）或謂詞（對(duì)象內(nèi)在關(guān)系的判斷），分析命題和謂詞的共性以及兩者的差異性；結(jié)合謂詞邏輯研究對(duì)象的內(nèi)在關(guān)系，引申出集合和二元關(guān)系表示、關(guān)系性質(zhì)分析等知識(shí)，分析二元關(guān)系的不同表示之優(yōu)缺點(diǎn)，對(duì)關(guān)系的有向圖表示進(jìn)行延續(xù)講述圖論相關(guān)概念。綜合分析離散數(shù)學(xué)中各個(gè)知識(shí)模塊間的關(guān)系在多學(xué)科交叉教學(xué)中具有以下優(yōu)點(diǎn)：⑴有助于激發(fā)學(xué)生持續(xù)不斷地學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)的相關(guān)知識(shí)；⑵在分析過(guò)程中有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題能力，探究傳統(tǒng)方法的優(yōu)缺點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生從不同角度提出創(chuàng)新思想；⑶有助于學(xué)生系統(tǒng)地學(xué)習(xí)、掌握離散數(shù)學(xué)知識(shí)和技能。

2.2教學(xué)內(nèi)容側(cè)重于抽象概括和形式推理能力培養(yǎng)

傳統(tǒng)工科專業(yè)課程中涉及大量專業(yè)術(shù)語(yǔ)和定理，這些術(shù)語(yǔ)和定理均利用自然語(yǔ)句描述連續(xù)對(duì)象。為了運(yùn)用計(jì)算機(jī)解決定理相關(guān)的工程問(wèn)題，對(duì)專業(yè)術(shù)語(yǔ)和定理的數(shù)據(jù)離散化處理是首要環(huán)節(jié)。結(jié)合離散數(shù)學(xué)命題符號(hào)表示的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生從不同角度對(duì)專業(yè)術(shù)語(yǔ)和定理進(jìn)行數(shù)據(jù)離散化表示能力。從數(shù)據(jù)表示方面鼓勵(lì)學(xué)生在本專業(yè)領(lǐng)域的創(chuàng)新，如集合的特征函數(shù)表示彌補(bǔ)了經(jīng)典集合的不足。離散數(shù)學(xué)的代數(shù)系統(tǒng)摒棄運(yùn)算差異性，將注意力集中于運(yùn)算的基本性質(zhì)，揭示運(yùn)算更一般的規(guī)律性。以此為例，在教學(xué)內(nèi)容上應(yīng)致力于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)不同問(wèn)題高度抽象能力，使學(xué)生把握事物本質(zhì)并反過(guò)來(lái)指導(dǎo)實(shí)踐中的深入應(yīng)用。借助此模塊知識(shí)講授，分析不同專業(yè)的研究對(duì)象和具體問(wèn)題的共性，培養(yǎng)學(xué)生概括能力，為引領(lǐng)業(yè)界奠定基礎(chǔ)。

2.3教學(xué)內(nèi)容注重發(fā)散思維能力培養(yǎng)

離散數(shù)學(xué)應(yīng)有助于培養(yǎng)跨專業(yè)學(xué)生多角度分析解決具體問(wèn)題的能力，如數(shù)理邏輯學(xué)模塊運(yùn)用直接法、CP規(guī)則法、反證法和機(jī)械消元法等進(jìn)行形式證明同一問(wèn)題。以此為基礎(chǔ)，借助數(shù)學(xué)符號(hào)推理訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題的能力，總結(jié)不同方法可解決問(wèn)題的前提條件，提升學(xué)生解決問(wèn)題的靈活性；比較各種方法的優(yōu)缺點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新性地提出新方法，以便彌補(bǔ)傳統(tǒng)方法的缺點(diǎn)。以集合的二元關(guān)系表示為例，分析其集合表示、圖表示和矩陣表示等方法各自優(yōu)點(diǎn)，如集合表示具有緊湊性；矩陣表示有利于計(jì)算機(jī)分析關(guān)系性質(zhì)；圖表示有助于主觀分析元素間的局部性和整體性。在交叉專業(yè)基礎(chǔ)知識(shí)的指導(dǎo)下，培訓(xùn)學(xué)生的發(fā)散思維能力。

2.4教學(xué)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)分析問(wèn)題的完備性

離散數(shù)學(xué)中大多數(shù)定理均具有前提條件，這類似于不同專業(yè)理論結(jié)論的邊界條件。類比分析前提和邊界條件兩者共性，模擬離散數(shù)學(xué)中對(duì)不滿足定理前提條件問(wèn)題的解決方法。結(jié)合專業(yè)結(jié)論的邊界條件和專業(yè)知識(shí)應(yīng)用條件的多樣性，培養(yǎng)交叉專業(yè)學(xué)生分析問(wèn)題的完備性能力。

3結(jié)束語(yǔ)

傳統(tǒng)工科與計(jì)算機(jī)科學(xué)的有機(jī)結(jié)合延伸了離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容在交叉學(xué)科的廣泛應(yīng)用。在傳統(tǒng)工科專業(yè)理論基礎(chǔ)上，繼承傳統(tǒng)離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的優(yōu)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的探索創(chuàng)新學(xué)習(xí)，擴(kuò)展專業(yè)知識(shí)的應(yīng)用領(lǐng)域。面對(duì)交叉專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)具有知識(shí)系統(tǒng)性、適當(dāng)減少理論知識(shí)和增加實(shí)例分析環(huán)節(jié)，彌補(bǔ)傳統(tǒng)內(nèi)容過(guò)于理論化的不足。特別是引入專業(yè)相關(guān)的問(wèn)題分析、模型可行計(jì)算和工程實(shí)踐，側(cè)重于培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力、發(fā)散思維能力和全面分析問(wèn)題能力，使離散數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容在新工科理念驅(qū)使的交叉專業(yè)應(yīng)用型人才培養(yǎng)中發(fā)揮重要作用。

作者:何坤 單位:四川大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院