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摘要：如何在測試節點里構造一個恰當的分割超平面是構造決策樹的關鍵，與單變量決策樹不同，多變量（傾斜）決策樹可以找到與特征軸不垂直的超平面。本文將從幾何學角度說明構造測試節點的過程，提出了一種兩階段決策樹的算法。

關鍵詞：超平面；兩階段；決策樹

1兩階段決策樹算法

1.1兩階段構造超平面構造多變量決策樹的中心問題是，在每個測試節點內對于連續的屬性如何研究分割超平面函數如式（1）：w1x1+w2x2+…+wnxn+threshold（閾值）=0，這里的X=（x1，x2…xn，1）是一個圖形向量，它是由一個常數和n個描敘實例的特征組成的。WT=（w1，w2，…，wn，wn+1）是一個X的參數向量，也可以稱為權向量（本文中假設WT是一個單位向量）。為了研究在每個測試決策樹節點內構造超平面的過程，首先調整方程式（2）：1w1x1+w2x2+…+wnxn=threshold，權向量WT=（w1，w2…wn）可以看作是用函數2構造的超平面的法線方向，然后我們可以將尋找超平面函數2的過程分為兩個步驟：首先找出標準向量WT，然后再找出參數閾值。使WT中至少有一個參數不等于0，得到的超平面就會向特征軸傾斜；使WT中只有一個參數不為0，例如WT=（0，0，…，wi，…，0），得到的超平面就會與特征軸垂直。顯然，如果在每個超平面的WT中只有一個參數不為0，構造的決策樹將會退化為單變量樹。為了深入研究這個問題，首先我們作了一個定義1。

定義1設V=（v1，v2…vn）（單位向量）是實例空間P內的一個方向向量，a=（a1，a2…an）是實例空間P內的一點。?坌a，如果a′=∑1?燮i?燮naivi，我們就說a′是a的V成分。

根據定義1可知，如把V當作標準軸，那么a′就是V軸上的值。

命題1設H是用函數（2）構造的分割超平面，假設A和H的交點的標準成分是v，那么v=threshold（閾值）。

證明設a=（a1，a2，…，an）是實例空間內的一點，?坌a∈P，a的標準成分b=∑1?燮i?燮nwiai。設a′=（a，a，…，a）是從a到標準軸的映射點，得到式（3）：b=∑1?燮i?燮nwiai=∑1?燮i?燮nwia。

設t=（t1，t2，…，tn）是A和實例空間P的交點，因為WT是實例空間p內的標準向量，所以t=a′。聯合（3）式，可以得到：b=∑1?燮i?燮nwia=∑1?燮i?燮nwiti=v。根據方程式（2），得到v=threshold（閾值）。

在權重向量WT內，如果只有一個參數不是0，例如WT=（0，0，…，wi，…，0），那么命題1中法線方向是準確的一個實例空間特征。因此，單變量決策樹滿足命題1。從這個角度來看，我們的框架是單變量決策樹的延伸。此外，一旦發現有法線方向，就可以簡單地解決超平面閾值：計算每個實例的標準成分作為一維空間值，然后根據一些標準（如基尼），尋找作為函數（2）閾值的最佳分割閾值。

1.2兩階段決策樹算法通過在1.1內的分析，尋找超平面函數的過程可以劃分為兩個階段。基于這個，介紹兩階段決策樹算法，這種算法通過兩個階段為每個測試節點構造超平面，如圖1。除了步驟2和3，此算法和其他決策樹算法沒有什么區別。步驟2（第一階段），候選超平面的標準列表是用某種研究函數構造的。許多著名的方法可直接用在這里尋找法線方向，如主成分分析，合作聯盟等。步驟3（第二階段）分為兩個階段：在第一階段中，每個候選超平面閾值是基于一些純判斷標準（如信息增益率和基尼）。在尋找連續屬性分割點方面，這個階段類似于單變量決策樹算法。在第二階段，此模型根據判斷標準從候選列表中選出最佳分割超平面。

在圖2中給出了構造兩階段決策樹的控制算法。許多算法只能處理一組特定的數據。為了簡化問題分析的復雜性，步驟1對輸入數據集進行預處理。預處理數據集之后，步驟2構造一個使用算法1的構造決策樹樹（參見圖1）。一旦決策樹被構造，它就會被修剪回來。在修剪階段有兩項措施用以評估每個測試節點：如果它是葉指數，則在測試節點下對一些子樹指標（如錯誤率）和測試節點進行評估。如果是前者且后者滿足一些條件（如后者的錯誤率小于前者），則其根是節點的整個樹，由葉取代。不同的算法，采用不同的修剪指標。Quinlan使用錯誤率評估基于統計界的評估[4]，BrEiman等人使用成本復雜性評估基于錯誤率和樹的規模（由葉節點數量來衡量）。但是我們采用EBPC4.5[4]和CCPCART來測試已修剪的構造決策樹的性能和修剪算法的影響。

2結論

在本文中，首先從幾何學角度重新解釋了構造測試節點的過程，并在此基礎上，提出了兩階段方法來為決策樹的每個測試節點構造超平面。第一階段尋找基于無監督或監督方法的合適的法線方向。基于一些如基尼和增長比的標準，第二階段找出在法線方向上的超平面的截距。最后提出了兩階段的構造決策樹算法。